人的独立性和参与性必须适得其所，平衡发展。一方面，过分的参与必然导致远离自我核心，现代人之所以感到空虚、无聊，在很大程度上就是由于顺从、依赖和参与过多，脱离了自我核心。另一方面，过分的独立会将自己束缚在狭小的自我世界内，缺乏正常的交往，必然损害人的正常发展。
关于索引结构，有千千万万，而在图像检索领域，索引主要是为特征索引而设计的一种数据结构。关于ANN搜索领域的学术研究，Rasmus Pagh发起的大规模相似搜索项目ANN-Benchmarks、Faiss以及ann-benchmarks都有对一些主流的方法做过对比。虽然三个对比的框架对不同方法的性能均有出入，但一些主流方法的性能差异是可以达成共识的，比如基于图方法的ANN其召回率均要优于其他方法。在工业上，常用的索引方法主要以倒排、PQ及其变种、基于树的方法（比如KD树）和哈希（典型代表LSH和ITQ）为主流。关于KD树、LSH以及PQ，小白菜曾在此前的博文图像检索：再叙ANN Search已有比较详细的介绍。本文是小白菜结合实际应用，对PQ的改进方法OPQ以及基于图的方法HNSW的理解，以及关于索引的一些总结与思考。
OPQ vs. HNSW
首先从检索的召回率上来评估，基于图的索引方法要优于目前其他一些主流ANN搜索方法，比如乘积量化方法（PQ、OPQ）、哈希方法等。虽然乘积量化方法的召回率不如HNSW，但由于乘积量化方法具备内存耗用更小、数据动态增删更灵活等特性，使得在工业检索系统中，在对召回率要求不是特别高的场景下，乘积量化方法仍然是使用得较多的一种索引方法，淘宝（详见Fast Approximate Nearest Neighbor Search With The Navigating Spreading-out Graph）、蘑菇街等公司均有使用。乘积量化和HNSW特性对比如下：
| 特性 | OPQ | HNSW |
|---|---|---|
| 内存占用 | 小 | 大 |
| 召回率 | 较高 | 高 |
| 数据动态增删 | 灵活 | 不易 |
基于图ANN方法由于数据在插入索引的时候，需要计算（部分）数据间的近邻关系，因而需要实时获取到到数据的原始特征，几乎所有基于图ANN的方法在处理该问题的时候，都是直接将原始特征加载在内存（索引）里，从而造成对内存使用过大，至于召回率图ANN方法要比基于量化的方法要高，这个理解起来比较直观。下面分别对改进的乘积量化方法OPQ以及基于图ANN方法HNSW做原理上的简要介绍。
OPQ
OPQ是PQ的一种改进方法，关于PQ的介绍，在此前的文章图像检索：再叙ANN Search中已有详细介绍，这里仅对改进的部分做相应的介绍。
通常，用于检索的原始特征维度较高，所以实际在使用PQ等方法构建索引的时候，常会对高维的特征使用PCA等降维方法对特征先做降维处理，这样降维预处理，可以达到两个目的：一是降低特征维度；二是在对向量进行子段切分的时候要求特征各个维度是不相关的，做完PCA之后，可以一定程度缓解这个问题。但是这么做了后，在切分子段的时候，采用顺序切分子段仍然存在一定的问题，这个问题可以借用ITQ中的一个二维平面的例子加以说明：
如上面左图（a图）所示，对于PCA降维后的二维空间，假设在做PQ的时候，将子段数目设置为2段，即切分成$x$和$y$两个子向量，然后分别在$x$和$y$上做聚类（假设聚类中心设置为2）。对左图（a图）和右图（c图）聚类的结果进行比较，可以明显的发现，左图在y方向上聚类的效果明显差于右图，而PQ又是采用聚类中心来近似原始向量（这里指降维后的向量），也就是右图是我们需要的结果。这个问题可以转化为数据方差来描述：在做PQ编码时，对于切分的各个子空间，我们应尽可能使得各个子空间的方差比较接近，最理想的情况是各个子空间的方差都相等。上图左图中，$x$和$y$各个方向的方差明显是差得比较大的，而对于右图，$x$和$y$方向各个方向的方差差不多是比较接近的。
为了在切分子段的时候，使得各个子空间的方差尽可能的一致，Herve Jegou在Aggregating local descriptors into a compact image representation中提出使用一个正交矩阵来对PCA降维后的数据再做一次变换，使得各个子空间的方差尽可能的一致。其对应的待优化目标函数见论文的第5页，由于优化该目标函数极其困难，Herve Jegou使用了Householder矩阵来得到该正交矩阵，但是得到的该正交矩阵并不能很好的均衡子空间的方差。
OPQ致力于解决的问题正是对各个子空间方差的均衡。具体到方法上，OPQ借鉴了ITQ的思想，在聚类的时候对聚类中心寻找对应的最优旋转矩阵，使得所有子空间中各个数据点到对应子空间的类中心的L2损失的求和最小。OPQ在具体求解的时候，分为非参求解方法和带参求解方法，具体为：
- 非参求解方法。跟ITQ的求解过程一样。
- 带参求解方法。带参求解方法假设数据服从高斯分布，在此条件下，最终可以将求解过程简化为数据经过PCA分解后，特征值如何分组的问题。在实际中，该解法更具备高实用性。
HNSW
HNSW是Yury A. Malkov提出的一种基于图索引的方法，它是Yury A. Malkov在他本人之前工作NSW上一种改进，通过采用层状结构，将边按特征半径进行分层，使每个顶点在所有层中平均度数变为常数，从而将NSW的计算复杂度由多重对数(Polylogarithmic)复杂度降到了对数(logarithmic)复杂度。
贡献
- 图输入节点明确的选择
- 使用不同尺度划分链接
- 使用启发式方式来选择最近邻
近邻图技术
对于给定的近邻图，在开始搜索的时候，从若干输入点（随机选取或分割算法）开始迭代遍历整个近邻图。
在每一次横向迭代的时候，算法会检查链接或当前base节点之间的距离，然后选择下一个base节点作为相邻节点，使得能最好的最小化连接间的距离。
近邻图主要的缺陷：1. 在路由阶段，如果随机从一个或者固定的阶段开始，迭代的步数会随着库的大小增长呈现幂次增加；2. 当使用k-NN图的时候，一个全局连接可能的损失会导致很差的搜索结果。
算法描述
网络图以连续插入的方式构建。对于每一个要插入的元素，采用指数衰变概率分布函数来随机选取整数最大层。
- 图构建元素插入过程（Algorithm 1）：从顶层开始贪心遍历graph，以便在某层A中找到最近邻。当在A层找到局部最小值之后，再将A层中找到的最近邻作为输入点（entry point），继续在下一层中寻找最近邻，重复该过程；
- 层内最近邻查找（Algorithm 2）：贪心搜索的改进版本；
- 在搜索阶段，维护一个动态列表，用于保持ef个找到的最近邻元素
在搜索的初步阶段，ef参数设置为1。搜索过程包括zoom out和zoom in两个阶段，zoom out是远程路由，zoom in顾名思义就是在定位的区域做精细的搜索过程。整个过程可以类比在地图上寻找某个位置的过程：我们可以地球当做最顶层，五大洲作为第二层，国家作为第三层，省份作为第四层……，现在如果要找海淀五道口，我们可以通过顶层以逐步递减的特性半径对其进行路由（第一层地球->第二层亚洲—>第三层中国->第四层北京->海淀区），到了第0层后，再在局部区域做更精细的搜索。
数据实验说明
199485332条人脸数据（128维，L2归一化）作为database, 10000条人脸数据作为查询。gound truth由暴力搜索结果产生（余弦相似度），将暴力搜索结果的rank@1作为gound truth，评估top@K下的召回率。
实验结果与调优
M参数：80，内存大小: 159364 Mb，索引文件：cnn2b_199485332m_ef_80_M_32_ip.bin，查询样本数目: 10000，ef: 1000，距离：内积距离
| top@K | 召回 | 时间(time(us) per query) |
|---|---|---|
| 1 | 0.957000 | - |
| 2 | 0.977300 | 9754.885742us |
| 3 | 0.981200 | 9619.380859us |
| 4 | 0.983100 | 9652.819336us |
| 5 | 0.983800 | 9628.488281us |
| 10 | 0.984500 | 9650.678711us |
| 50 | 0.986400 | 9647.286133us |
| 100 | 0.986700 | 9665.638672us |
| 300 | 0.987000 | 9685.414062us |
| 500 | 0.987100 | 9744.437500us |
| 1000 | 0.987100 | 9804.702148us |
M参数：16，Mem: 173442 Mb， 索引文件：cnn2b_199485332m_ef_40_M_16.bin, 查询样本数目: 10000，ef: 1000，距离：欧氏距离
| top@K | 召回 | 时间(time_us_per_query) |
|---|---|---|
| 1 | 0.887800 | 4845.700684us |
| 2 | 0.911700 | 6732.230957us |
| 3 | 0.916600 | 6879.585449us |
| 4 | 0.917500 | 6963.914062us |
| 5 | 0.918000 | 6920.318359us |
| 10 | 0.920200 | 6880.795898us |
| 50 | 0.922400 | 6900.778809us |
| 100 | 0.923000 | 6970.664062us |
| 300 | 0.923400 | 6978.517578us |
| 500 | 0.923400 | 6992.306152us |
M参数：40，Mem: 211533 Mb， 索引文件：cnn2b_199485332m_ef_40_M_40.bin, 查询样本数目: 10000，ef: 1000，距离：内积距离
| top@K | 召回 | 时间(time_us_per_query) |
|---|---|---|
| 1 | 0.928600 | 6448.714355us |
| 2 | 0.948300 | 7658.459961us |
| 3 | 0.952600 | 7674.244629us |
| 4 | 0.954000 | 7659.506348us |
| 5 | 0.954700 | 7679.874023us |
| 10 | 0.955800 | 7709.812500us |
| 50 | 0.957400 | 7720.283691us |
| 100 | 0.957800 | 7722.512695us |
| 300 | 0.958000 | 7763.615234us |
| 500 | 0.958100 | 7779.351562us |
| 1000 | 0.958100 | 7859.372559us |
余弦相似度与余弦距离关系
Supported distances:
| Distance | parameter | Equation |
|---|---|---|
| Squared L2 | ‘l2’ | d = sum((Ai-Bi)^2) |
| Inner product | ‘ip’ | d = 1.0 - sum(Ai*Bi)) |
| Cosine similarity | ‘cosine’ | d = 1.0 - sum(Ai*Bi) / sqrt(sum(Ai*Ai) * sum(Bi*Bi)) |
参数说明
- efConstruction：设置得越大，构建图的质量越高，搜索的精度越高，但同时索引的时间变长，推荐范围100-2000
- efSearch：设置得越大，召回率越高，但同时查询的响应时间变长，推荐范围100-2000，在HNSW，参数ef是efSearch的缩写
- M：在一定访问内，设置得越大，召回率增加，查询响应时间变短，但同时M增大会导致索引时间增加，推荐范围5-100
HNSW L2space返回的top@K，是距离最小的K个结果，但是在结果表示的时候，距离是从大到小排序的，所以top@K距离是最小的，top@K-1距离是次之，top@1是距离第K大的。只是结果在表示上逆序了而已，不影响最终的结果。如果要按正常的从小到大来排序，则对top@K的结果做个逆序即可。作者在python的接口里，实现了这种逆序，具体见bindings.cpp#L287，所以python的结果和c++的结果，是逆序的差异。
参数详细意义
-
M：参数M定义了第0层以及其他层近邻数目，不过实际在处理的时候，第0层设置的近邻数目是2*M。如果要更改第0层以及其他层层近邻数目，在HNSW的源码中进行更改即可。另外需要注意的是，第0层包含了所有的数据点，其他层数据数目由参数mult定义，详细的细节可以参考HNSW论文。
- delaunay_type：检索速度和索引速度可以通过该参数来均衡heuristic。HNSW默认delaunay_type为1，将delaunay_type设置为1可以提高更高的召回率(> 80%)，但同时会使得索引时间变长。因此，对于召回率要求不高的场景，推荐将delaunay_type设置为0。
- post：post定义了在构建图的时候，对数据所做预处理的数量（以及类型），默认参数设置为0，表示不对数据做预处理，该参数可以设置为1和2（2表示会做更多的后处理）。
更详细的参数说明，可以参考parameters说明。
demo
小白菜基于局部特征，采用HNSW做过一版实例搜索，详细说明详见HNSW SIFTs Retrieval。适用范围：中小规模。理论上，直接基于局部特征索引的方法，做到上千万级别的量级，是没有问题的，成功的例子详见videntifier，Herwig Lejsek在设计videntifier系统的时候，使用的是NV-Tree，每一个高维向量只需用6个字节来表示，压缩比是非常大的，(O)PQ折中情况下一般都需要16个字节。关于NV-Tree的详细算法，可以阅读Herwig Lejsek的博士论文NV-tree: A Scalable Disk-Based High-Dimensional Index，墙裂推荐一读。
总结
在本篇博文里，小白菜对图ANN、基于量化的两类方法分别选取了最具代表性的方法HNSW和OPQ方法进行比较详细的总结，其中由以基于PQ的量化方法在工业界最为实用，基于图的ANN方法，在规模不是特别大但对召回要求非常高的检索场景下，是非常适用的。除此之外，图ANN方法可以和OPQ结合起来适用，来提高OPQ的召回能力，具体可以阅读Revisiting the Inverted Indices for Billion-Scale Approximate Nearest Neighbors和Link and code: Fast indexing with graphs and compact regression codes这两篇文章。
